1、傅里叶级数Fourier series一种特殊的三角级数。

(资料图)

2、法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。

3、从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。

4、在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。

5、他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。

6、傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。

7、在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

8、============================================================================================================傅里叶级数的公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数: $x(t)=sum\; \_\{k=-infty\}^\{+infty\}a\_kcdot\; e^\{jk(frac\{2pi\})t\}$(j为虚数单位)(1) 其中，$a\_k$可以按下式计算: $a\_k=fracint\_x(t)cdot\; e^\{-jk(frac\{2pi\})t\}$(2) 注意到$f\_k(t)=e^\{jk(frac\{2pi\})t\}$是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。

9、k=0时，(1)式中对应的这一项称为直流分量，$k=pm\; 1$时具有基波频率$omega\_0=frac\{2pi\}$，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

10、 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。

11、狄利赫里条件如下: 在任何周期内，x(t)须绝对可积; 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值; 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

12、 吉布斯现象:在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。

13、一个简单的例子是方波信号。

14、 三角函数族的正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。

15、事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。

16、一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。

17、三角函数族的正交性用公式表示出来就是: $int\; \_^\{2pi\}sin\; (nx)cos\; (mx)\; ,dx=0;$$int\; \_^\{2pi\}sin\; (mx)sin\; (mx)\; ,dx=0;(me\; n)$$int\; \_^\{2pi\}cos\; (mx)cos\; (mx)\; ,dx=0;(me\; n)$$int\; \_^\{2pi\}sin\; (nx)sin\; (nx)\; ,dx=pi;$$int\; \_^\{2pi\}cos\; (nx)cos\; (nx)\; ,dx=pi;$奇函数和偶函数奇函数$f\_o(x)$可以表示为正弦级数，而偶函数$f\_e(x)$则可以表示成余弦级数: $f\_o(x)\; =\; sum\; \_\{-infty\}^\{+infty\}b\_k\; sin(kx);$$f\_e(x)\; =\; frac+sum\; \_\{-infty\}^\{+infty\}a\_kcos(kx);$只要注意到欧拉公式: $e^\{jheta\}=\; sin\; heta+jcos\; heta$，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

18、 广义傅里叶级数任何正交函数系$\{\; phi(x)\}$，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程: $int\; \_^f^2(x),dx=sum\; \_\{k=1\}^\{infty\}c^\_$(4)， 那么级数$sum\; \_\{k=1\}^\{infty\}\; c\_kphi\; \_k(x)$(5) 必然收敛于f(x)，其中: $c\_n=int\; \_^f(x)phi\_n(x),dx$(6)。

19、 事实上，无论(5)时是否收敛，我们总有: $int\; \_^f^2(x),dx\; ge\; sum\; \_\{k=1\}^\{infty\}c^\_$成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。

20、此外，式(6)是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基$\{e\_i\}^\_\{i=1\}$，向量x在$e\_i$上的投影总为。

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